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孟子曰：“魚，我所欲也；熊掌，亦我所欲也。二者不可得兼，舍魚而取熊掌者也。”在實際生產生活中，人們往往更希望魚與熊掌兼得。例如，人們希望在降低服裝購買成本的情況下使其舒適度最大化，或者希望在減少車輛能耗和污染物排放的情況下使車輛性能最優化。

圖1 生活中的多目標組合優化問題

一、錯綜復雜：多目標組合優化問題

多目標組合優化問題（Multiobjective Combinatorial Optimization Problem, MOCOP）是涉及多個目標函數同時優化的數學問題[2]，需要權衡兩個或多個相互沖突的目標，進而做出最優決策。目前，該問題已被應用于工程、經濟、物流等多個領域。MOCOP的基本數學模型如公式(1)所示。

當多目標組合優化問題的解在目標空間分布的距離與決策空間分布的距離呈非正相關關系時，現有算力分配方法的求解性能會變差[3-6]。這將導致相鄰目標向量所對應的決策向量差異性大。例如，圖2中Y1和Y2是兩個相鄰的目標向量，X1和X2是決策空間中對應的兩個解。如果X1和X2所屬的決策空間不相鄰，那么從一個子問題的解轉移到其相鄰子問題的解是十分困難的。這導致現有的基于分解算法的算力分配方法在求解MOCOPs時的性能會變差。

圖2 目標空間的距離與決策空間的距離非正相關示例

如何選擇子問題并合理分配有限的算力是提升基于分解算法求解MOCOPs性能的關鍵之一。因此，針對背包與二次分配多目標組合優化問題存在的相鄰目標向量所對應的決策向量差異程度大這一問題，智能算法研究中心的研究人員提出基于稀疏目標子區域微搜索的多目標組合優化算法（Local-diversity Evaluation Assignment Strategy for Decomposition-based Multiobjective Evolutionary Algorithm, MOEA/D-LdEA）[1]。MOEA/D-LdEA通過劃分目標空間獲得微小的多目標子區域，使算法能夠在多目標組合優化問題的大規模搜索空間中找到有效決策子集，并依據多目標子區域的稀疏度動態分配算力，在不同的子區域進行定向搜索，節省了計算代價，最終獲得多目標組合優化問題的高質量解集。目前，該研究工作已發表在國際頂級期刊IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems（JCR一區，影響因子11.471）。

MOEA/D-LdEA算法的流程如圖3所示。該算法主要包括兩部分：微小搜索子區域的稀疏度評估模型和有效決策子集的算力分配策略LdEA。

圖3 MOEA/D-LdEA算法流程圖

二、排沙簡金：微小搜索子區域的稀疏度評估模型

微小搜索子區域是通過在多目標優化問題中使用分解算法來確定的。分解算法將多目標問題分解為一組單目標子問題，每個子問題都是在不同權重向量下的優化目標函數。因此，搜索空間的規模僅限于每個單目標問題的權重向量，而不是整個多目標問題的搜索空間。算法將在微小范圍內進行定向搜索，這樣極大地減少了計算成本，節省了算力。

微小搜索子區域的稀疏度評估模型主要用于估計每個目標子區域的局部密度。首先，假定目標空間被劃分為K個目標子區域，其中，可以被定義為：

圖4 微小搜索子區域的稀疏度評估模型對目標空間的劃分

當目標空間被劃分為多個子區域后，由于每個解與一個目標子區域相關聯，因此可以通過采用公式(3)計算與目標子區域相連的解的個數來估計目標子區域的局部密度：

其中， 表示在種群C中由得到適應值評估的第j個子問題所生成的解的數量，其中C包含e(e ≤ N)個在各個目標均不相等時適應度值的解。

圖5 目標空間中不同稀疏度的子區域

如公式(4)所示，當局部密度值與所選目標子區域的概率成反比，即目標子區域稀疏度越高，則目標子區域被選擇的概率越大。被選中的目標子區域即為該微搜索過程的有效決策子集。

最后，可以根據目標子區域的稀疏度，采用公式(5)計算被選定目標子區域的概率，即：

1. 稱體載衣：有效決策子集的算力分配策略

因為搜索算法傾向于更頻繁地探索多樣性更強的區域，所以搜索算法的效率取決于搜索空間不同部分之間的差異程度。因此，我們提出有效決策子集的算力分配策略LdEA，將算力分配給具有較低目標函數值和較高多樣性的個體，實現算力的相對均勻分配，從而減少不必要的算力消耗，節省計算成本。

當MOCOPs的解滿足目標空間距離與決策空間距離呈非正相關的前提時，在有效決策子集中確定權重向量的子問題z（如圖6(b)所示），可以使有效決策子集中的子問題z比其它子問題獲得更多的適應度評估次數。LdEA策略對不同有效決策子集所關聯的不同子問題進行不均等的算力分配，避免算力冗余或者被重復分配，最終在確定被選中的子問題后生成解。

圖6 采用LdEA策略對子問題進行選擇的過程說明

為了驗證LdEA策略的有效性，研究人員評估了MOEA/D-LdEA與四個對比算法在MOMKP 實例和MQAP實例上所獲得的反向世代距離（Inverted Generational Distance, IGD）和超體積（Hypervolume, HV）指標值。

表1 MOEA/D-LdEA 與對比算法在求解MOMKP測試問題上所獲得的IGD和HV指標值

表2 MOEA/D-LdEA 與對比算法在求解MQAP測試問題上所獲得的IGD和HV指標值

從表1和表2可見，MOEA/D-GUS在移除了LdEA策略后對MOMKP實例和 MQAP實例進行求解所得的IGD值和HV值差于MOEA/D-LdEA所獲得的IGD值和HV值。這驗證了采用LdEA策略求解滿足目標空間距離與決策空間距離非正相關的空間化目標先驗特性的MOMKP和MQAP測試問題的有效性。此外，MOEA/D-LdEA能夠在多個有效決策子集中實現分配更少的算力來獲得高質量的非支配解，具備較好的折衷收斂性與多樣性，從而在所獲得的IGD值和HV值上優于MOEA/D-EEA、NSGA-III和RVEA。

圖7展示了MOEA/D-LdEA與四個對比算法在 MOMKP 測試問題和MQAP測試問題上獲得的最終解集。與采用不同算力分配策略的其他對比算法相比，MOEA/D-LdEA獲得的解集更逼近帕累托前沿（Praeto Front, PF）。這說明通過確定微小搜索子區域和有效決策子集算力分配策略，MOEA/D-LdEA可以在目標空間的更多有效決策子集獲得更優的最終解集，克服從一個子問題的解轉移到其鄰近子問題的解這一困難，更有利于解決 MOCOPs。

圖7 MOEA/D-LdEA、MOEA/D-CRA、OPE-MOEA、MOEA/D-IRA 和PPLS/D 在MOMKP (1) 和MQAP (2) 實例上獲得的最終解集

綜上所述，MOEA/D-LdEA通過運用微搜索方法選定目標子區域，然后將選中的目標子區域作為定向搜索方向并分配更多的算力，在求解背包問題、二次分配問題等多目標組合優化問題方面獲得了顯著成效，在性能上明顯優于OPE-MOEA、PPLS/D等現有算力分配的算法。

長期以來，智能算法研究中心致力于運用微搜索算法解決我國實際工業生產中的“卡脖子”難題，目前已在柔性車間生產調度[10]和濾波器調參[11]問題上初見成效。今后，我們將嘗試使用代理模型與微搜索算法相結合的方法求解超大規模的復雜組合優化問題，從而提升微搜索算法的求解速度，以適應當今發展迅速的工業時代。

參考文獻

1. S. Yang, H. Huang, F. Luo, Y. Xu and Z. Hao, “Local-diversity evaluation assignment strategy for decomposition-based multiobjective evolutionary algorithm,” IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, vol. 53, no. 3, pp. 1697-1709, 2023.
2. K. Miettinen, Nonlinear multiobjective optimization. New York, NY, USA: Springer, 1998.
3. Q. Zhang, W. Liu and H. Li, “The performance of a new version of MOEA/D on CEC09 unconstrained mop test instances,” in IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC), 2009, pp. 203-208.
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9. J. Shi, Q. Zhang and J. Sun, “PPLS/D: Parallel Pareto local search based on decomposition,” IEEE Transactions on Cybernetics, vol. 50, no. 3, pp. 1060-1071, 2020.
10. J. Su, H. Huang, G. Li, X. Li and Z. Hao, “Self-organizing neural scheduler for the flexible job shop problem with periodic maintenance and mandatory outsourcing constraints, ” IEEE Transactions on Cybernetics, doi: 10.1109/TCYB.2022.3158334.
11. H. Huang, F. Feng, S. Huang, L. Chen and Z. Hao, “Micro-scale searching algorithm for coupling matrix optimization of automated microwave filter tuning,” IEEE Transactions on Cybernetics, doi: 10.1109/TCYB.2022.3166225.